Temario de Matemáticas 1º de Bachillerato

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Orientación sobre el temario de Matemáticas en primero de Bachillerato

Esta guía se ha realizado con la intención de ayudar a contextualizar el temario de matemáticas de primero de bachillerato. Lo que tienes ante ti es una visión general de toda la asignatura. El resumen de toda la asignatura que cursé, en unos 20 folios de apuntes esquematizados. Comencemos …

 

1. Estudio de los números reales

• Números racionales y números irracionales: números reales.

• La recta real. Intervalos y semirrectas. Valor absoluto de un número real. Distancias en la recta real.

• Operaciones con números reales: Propiedades. Potenciación y radicación.

• Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado.

• Logaritmos.

 

2. Álgebra

• Monomios y polinomios: Operaciones con monomios y polinomios. Factorización de polinomios.

• Divisibilidad de polinomios. Teorema del resto. Raíces de un polinomio.

• Ecuaciones de segundo grado: Propiedades de la parábola.

• Desigualdades de segundo grado.

  

3. Trigonometría

• Círculo trigonométrico. Seno, coseno y tangente de un ángulo.

• Razones trigonométricas de ángulos notables.

• Teoremas de la suma y la diferencia.

• Cálculo de la altura y la distancia en un triángulo rectángulo.

 

4. Funciones

• Concepto de función, dominio y recorrido.

• Funciones elementales: Lineales, cuadráticas, raíz, exponenciales y logarítmicas.

• Gráficas de funciones elementales.

• Funciones definidas a trozos.

 

5. Geometría plana

• Operaciones con vectores.

• La recta: Ecuación de la recta. Posición relativa de dos rectas.

• El plano: Ecuación del plano. Posición relativa de un punto y un plano.

• La circunferencia: Ecuación de la circunferencia. Posición relativa de dos circunferencias.

 

6. Geometría del espacio

• El punto en el espacio: Coordenadas cartesianas de un punto. Distancia entre dos puntos.

• La recta en el espacio: Ecuaciones de la recta. Posición relativa de dos rectas.

• El plano en el espacio: Ecuación del plano. Posición relativa de un punto y un plano.

• Triedros y diedros: Ángulos entre rectas. Ángulos entre planos.

• Poliedros: Clasificación de poliedros. Elementos de un poliedro.

• Áreas y volúmenes de poliedros regulares.

 

7. Introducción a los números complejos

 

8. Estudio de sucesiones.

 

1. Introducción a los números reales

Los números reales son aquellos que se pueden representar en una recta llamada eje real. Esta recta va desde menos infinito hasta infinito, y está ordenada de forma que los números a la derecha son mayores que los números a la izquierda.

 

Los números reales se pueden expresar de dos maneras:

• Mediante un número entero: Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, etc.

• Mediante un decimal: Por ejemplo, 0.5, 1.23, 3.14159, etc.

 

1.1 Los números reales se clasifican en dos tipos:

• Números racionales: Son aquellos que se pueden expresar como el cociente de dos enteros, con el denominador diferente de cero. Por ejemplo, 1/2, 3/4, 5/6, etc.

• Números irracionales: Son aquellos que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Por ejemplo, π (pi), √2 (raíz cuadrada de 2), e (número de Euler), etc.

 

1.2 Propiedades

Los números reales tienen las siguientes propiedades:

• Son ordenables: Se pueden comparar entre sí y determinar si son mayores, menores o iguales.
• Son aditivos: Se pueden sumar y restar.
• Son multiplicativos: Se pueden multiplicar y dividir.
• Son continuos: No hay «huecos» entre ellos.

 

Los números reales son fundamentales en matemáticas. Se utilizan en todas las áreas de la matemática, desde la aritmética hasta el cálculo. También se utilizan en física, química, ingeniería y otras ciencias.

 

2. Expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas son herramientas fundamentales en matemáticas. Permiten representar relaciones entre variables y números, y son utilizadas en diversos campos como la física, la ingeniería y la economía. En esta guía exploraremos los diferentes tipos de expresiones algebraicas, sus operaciones y propiedades.

 

2.1 Monomios:

Un monomio es la expresión algebraica más simple. Se compone de un solo término, que puede ser un número, una variable o una combinación de ambos. Algunos ejemplos de monomios son:

• 5x
• 2xy^2
• 3a^2b

 

Operaciones con monomios:

• Suma y resta: Para sumar o restar monomios, se deben agrupar los términos semejantes (aquellos que tienen la misma parte literal) y sumar o restar sus coeficientes.

 

Ejemplo: (3x^2 + 2xy) + (5x^2 – xy) = 8x^2 + xy

 

• Multiplicación: Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y se multiplican las partes literales elevando cada variable a la suma de sus exponentes.

 

Ejemplo: (2x^2)(3xy^2) = 6x^3y^3

 

• División: Para dividir monomios, se dividen sus coeficientes y se dividen las partes literales restando sus exponentes.

 

Ejemplo: (6x^3y^2) / (2xy) = 3x^2y

 

2.2 Polinomios:

Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por la suma de dos o más monomios.

Ejemplo: 2x^2 + 3xy – 1

 

Operaciones con polinomios:

• Suma y resta: Se suman o restan los términos semejantes de cada polinomio.

 

Ejemplo: (x^2 + 2x + 1) + (3x^2 – x + 2) = 4x^2 + x + 3

• Multiplicación: Se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo polinomio y se suman los productos resultantes.

 

Ejemplo: (x + 2)(x – 1) = x^2 – x + 2x – 2 = x^2 + x – 2

• División: Se utilizan diversos métodos como la división larga, la regla de Ruffini o la descomposición en factores.

 

Ejemplo: (x^2 + 2x + 1) / (x + 1) = x + 1

 

2.3 Identidades notables:

Son fórmulas que permiten expresar la suma o el producto de expresiones algebraicas de forma simplificada.

Ejemplo: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

 

2.4 Teorema del resto:

Este teorema establece que si se divide un polinomio por un binomio de la forma (x – a), el resto de la división es el valor del polinomio evaluado en x = a.

 

2.5 Factorización de polinomios:

Descomponer un polinomio en factores consiste en expresarlo como un producto de expresiones algebraicas más simples.

Ejemplo: x^2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)

 

2.6 Fracciones algebraicas:

Son expresiones algebraicas que se forman al dividir un polinomio por otro.

Ejemplo: (x^2 + 1) / (x – 1)

 

Operaciones con fracciones algebraicas:

 

• Reducción a común denominador: Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se multiplican numerador y denominador por un factor que haga que el denominador sea el mínimo común múltiplo.

 

Ejemplo: (x / (x – 1)) + (1 / (x + 1)) = (x(x + 1) + (x – 1)) / ((x – 1)(x + 1)) = (x^2 + x + x – 1) / (x^2 – 1) = (x^2 + 2x – 1) / (x^2 – 1)

• Suma y resta: Se suman o restan los numeradores si los denominadores son iguales. Si los denominadores son diferentes, se reducen a común denominador y luego se suman o restan los numeradores.

 

Ejemplo: (x / (x – 1)) + (1 / (x + 1)) = (x^2 + x +

 

Recursos adicionales:

• Números reales en Wikipedia

• Introducción a los números reales en Youtube.

• Números reales. Introducción. Las clases de Laura: lasclasesdelaura.com

• Resulta muy interesante como introducción a los números imaginarios relacionarlos con la geometría algebraica.

 

Ejemplos:

• El número 3 es un número real que se puede representar como un número entero.
• El número 0.5 es un número real que se puede representar como un decimal.
• El número π (pi) es un número real irracional.
• La distancia entre dos puntos en una línea recta es un número real.

 

Ejercicios:

1. Representa los siguientes números reales en la recta real: 1, -2, 0.5, 1.23.
2. ¿Es el número 5/2 un número racional?
3. ¿Es el número √3 un número racional?
4. Calcula la suma de los números 2.5 y 3.75.
5. Calcula el producto de los números 0.4 y 0.5.

 

Respuestas:

1. 1 está a la derecha de 0, -2 está a la izquierda de 0, 0.5 está entre 0 y 1, y 1.23 está entre 1 y 2.
2. Sí, 5/2 es un número racional porque se puede expresar como el cociente de dos enteros.
3. No, √3 no es un número racional porque no se puede expresar como el cociente de dos enteros.
4. La suma de 2.5 y 3.75 es 6.25.
5. El producto de 0.4 y 0.5 es 0.2.

 

2.7 Resolución de ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones son enunciados matemáticos que establecen la igualdad entre dos expresiones. En esta guía exploraremos diferentes tipos de ecuaciones y sus métodos de resolución, desde las clásicas ecuaciones de segundo grado hasta sistemas de ecuaciones con múltiples incógnitas.

 

Las ecuaciones de segundo grado son aquellas que tienen la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a es diferente de cero. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Factorización: Se descompone el trinomio de segundo grado en dos binomios.
• Fórmula general: Se utiliza la fórmula x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a.
• Completar el cuadrado: Se transforma la ecuación a una forma que permita identificar fácilmente las raíces.

 

El estudio de soluciones de una ecuación de segundo grado permite determinar el número y tipo de soluciones que tiene la ecuación. Se realiza analizando el discriminante, que es el valor de b^2 – 4ac.

• Discriminante positivo: La ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
• Discriminante igual a cero: La ecuación tiene una única solución real (una raíz doble).
• Discriminante negativo: La ecuación no tiene soluciones reales, sino dos soluciones complejas.

 

Propiedades de la ecuación de segundo grado:

Las soluciones de una ecuación de segundo grado son las raíces del trinomio asociado. La suma de las soluciones es -b/a y el producto de las soluciones es c/a.

 

Factorización de un trinomio de segundo grado:

Un trinomio de segundo grado se puede factorizar en dos binomios. Existen diferentes métodos para realizar la factorización, como la factorización por agrupación o la factorización por inspección.

 

2.8 Ecuaciones racionales:

Las ecuaciones racionales son aquellas que tienen una o más fracciones algebraicas. Se pueden resolver simplificando las fracciones y luego utilizando las técnicas para resolver ecuaciones con polinomios.

 

2.9 Ecuaciones bicuadradas:

Las ecuaciones bicuadradas son aquellas que tienen la forma ax^4 + bx^2 + c = 0, donde a, b y c son números reales y a es diferente de cero. Se pueden resolver mediante diferentes métodos, como la factorización o la fórmula general para ecuaciones bicuadradas.

 

2.10 Ecuaciones irracionales:

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen una o más expresiones con radicales. Se pueden resolver aislando el radical y luego elevando ambos lados de la ecuación a una potencia que elimine el radical.

 

2.11 Ecuaciones de grado superior a dos:

Las ecuaciones de grado superior a dos son aquellas que tienen una variable elevada a una potencia mayor que dos. Se pueden resolver mediante diferentes métodos, como el método de Ruffini-Horner, la fórmula general para ecuaciones de tercer grado o métodos numéricos.

 

2.12 Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas:

Un sistema de ecuaciones con tres incógnitas es un conjunto de tres ecuaciones que tienen tres variables. Se pueden resolver mediante diferentes métodos, como el método de sustitución, el método de eliminación y el método de matrices.

 

2.13 Ecuaciones no lineales:

Las ecuaciones no lineales son aquellas que no se pueden representar como una función lineal. Se pueden resolver mediante diferentes métodos, como el método de Newton-Raphson o métodos numéricos.

 

Recursos adicionales del módulo:

• Ecuaciones de segundo grado: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado

• Factorización de polinomios: https://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_de_polinomios

• Se recomienda revisar video en YouTube sobre Ecuaciones racionales, ecuaciones bicuadradas, ecuaciones irracionales y sistemas de ecuaciones lineales y no lineales … wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

 

2.14 Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas: apuntes

Las ecuaciones exponenciales y logarítmicas son herramientas matemáticas que se utilizan en diversos campos como la física, la química, la ingeniería y la economía. En esta guía exploraremos los métodos para resolver este tipo de ecuaciones, así como sus propiedades y aplicaciones.

 

Las ecuaciones exponenciales son aquellas que tienen una variable en el exponente. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Igualando bases: Se transforman las ecuaciones a una forma en la que las bases sean iguales y luego se igualan los exponentes.

• Logaritmos: Se aplica el logaritmo a ambos lados de la ecuación y luego se resuelve la ecuación logarítmica resultante.

 

2.15 Sistemas de ecuaciones exponenciales:

Un sistema de ecuaciones exponenciales es un conjunto de dos o más ecuaciones exponenciales que tienen dos o más variables. Se pueden resolver mediante diferentes métodos, como el método de sustitución, el método de eliminación y el método de matrices.

 

2.16 Cálculo logarítmico:

El logaritmo de un número x es la potencia a la que hay que elevar la base b para obtener x. Se puede calcular utilizando diferentes métodos, como las tablas de logaritmos, la calculadora o las fórmulas matemáticas.

 

Los logaritmos tienen diversas propiedades que se pueden utilizar para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Algunas de las propiedades más importantes son:

• Logaritmo de un producto: log(xy) = log(x) + log(y)
• Logaritmo de un cociente: log(x/y) = log(x) – log(y)
• Logaritmo de una potencia: log(x^n) = n * log(x)

 

Resolución de ecuaciones logarítmicas:

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas que tienen un logaritmo en uno o ambos lados de la ecuación. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Transformando a forma exponencial: Se escribe la ecuación en forma exponencial y luego se resuelve la ecuación exponencial resultante.

• Propiedades de los logaritmos: Se utilizan las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación y luego se resuelve la ecuación resultante.

 

Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas:

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un conjunto de dos o más ecuaciones logarítmicas que tienen dos o más variables. Se pueden resolver mediante diferentes métodos, como el método de sustitución, el método de eliminación y el método de matrices.

 

Recursos adicionales:

• Ecuaciones y Sistemas de ecuaciones exponenciales
• Logaritmos: https://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo
• Propiedades de los logaritmos
• Ecuaciones logarítmicas
• Sistemas de ecuaciones logarítmicas

 

Ejemplos:

Ecuación exponencial: 2^x = 8

Solución:

• Se igualan las bases: 2^x = 2^3
• Se igualan los exponentes: x = 3

Ecuación logarítmica: log(x) = 2

Solución:

• Se escribe la ecuación en forma exponencial: 10^2 = x
• Se resuelve la ecuación exponencial: x = 100

Sistema de ecuaciones exponenciales:

• 2^x = 4
• 3^y = 9

Solución:

• Se igualan las bases en la primera ecuación: 2^x = 2^2
• Se igualan los exponentes en la primera ecuación: x = 2
• Se igualan las bases en la segunda ecuación: 3^y = 3^2
• Se igualan los exponentes en la segunda ecuación: y = 2

Sistema de ecuaciones logarítmicas:

• log(x) + log(y) = 1
• log(x) – log(y) = 0

Solución:

• Se suman las dos ecuaciones: 2 * log(x) = 1
• Se divide por 2 ambos lados de la ecuación: log(x) = 0.5
• Se escribe la ecuación

 

2.17 Inecuaciones: 

Las inecuaciones son expresiones matemáticas que establecen una relación de orden entre dos expresiones algebraicas. En esta guía exploraremos los diferentes tipos de inecuaciones, sus métodos de resolución y sus aplicaciones.

 

Dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se pueden obtener inecuaciones equivalentes a partir de una inecuación dada mediante operaciones como:

• Sumar o restar un mismo número a ambos lados de la inecuación.
• Multiplicar o dividir ambos lados de la inecuación por un número positivo.
• Cambiar el sentido de la inecuación si se multiplica o divide por un número negativo.

 

Las inecuaciones de primer grado son aquellas que tienen la forma ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0 o ax + b ≥ 0, donde a, b son números reales y a es diferente de cero. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Representación gráfica: Se representa la inecuación en una recta numérica y se busca la región que cumple la condición.

• Método de la balanza: Se coloca la variable en un lado de la balanza y el término constante en el otro lado. Se suman o restan pesos a ambos lados de la balanza para mantener el equilibrio.

• Resolución por casos: Se analizan los diferentes casos posibles según el signo de a.

 

Las inecuaciones de primer grado con dos incógnitas son aquellas que tienen la forma ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c o ax + by ≥ c, donde a, b, c son números reales y a y b no son ambos cero. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Representación gráfica: Se representa la inecuación en un plano cartesiano y se busca la región que cumple la condición.

• Método de sustitución: Se despeja una de las variables en la inecuación y se sustituye en la otra inecuación.

• Método de eliminación: Se suman o restan las dos inecuaciones para eliminar una de las variables.

 

Las inecuaciones de segundo grado son aquellas que tienen la forma ax^2 + bx + c < 0, ax^2 + bx + c > 0, ax^2 + bx + c ≤ 0 o ax^2 + bx + c ≥ 0, donde a, b, c son números reales y a es diferente de cero. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Factorización: Se factoriza el trinomio de segundo grado y se analiza el signo de cada factor.

• Se utiliza el valor del discriminante para determinar el número y tipo de soluciones de la inecuación.

• Fórmula general: Se utiliza la fórmula general para ecuaciones de segundo grado para determinar los valores de la variable que cumplen la inecuación.

 

Un sistema de inecuaciones con una incógnita es un conjunto de dos o más inecuaciones que tienen una variable. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Método gráfico: Se representan las inecuaciones en una recta numérica y se busca la región que cumple todas las inecuaciones del sistema.

• Método de la balanza: Se coloca la variable en un lado de la balanza y los términos constantes en el otro lado. Se suman o restan pesos a ambos lados de la balanza para mantener el equilibrio.

• Método de resolución por casos: Se analizan los diferentes casos posibles según las inecuaciones del sistema.

 

Un sistema de inecuaciones con dos incógnitas es un conjunto de dos o más inecuaciones que tienen dos variables. Se pueden resolver mediante diferentes métodos:

• Método gráfico: Se representan las inecuaciones en un plano cartesiano y se busca la región que cumple todas las inecuaciones del sistema.

• Método de sustitución: Se despeja una de las variables en una inecuación y se sustituye en la otra inecuación.

• Método de eliminación: Se suman o restan las dos inecuaciones para eliminar una de las variables.

 

3. Trigonometría

La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. En esta guía exploraremos los conceptos básicos de la trigonometría, como la medición de ángulos, las razones trigonométricas, las relaciones fundamentales y su aplicación en la resolución de triángulos rectángulos.

 

3.1 Medición de ángulos:

Los ángulos se pueden medir en grados, radianes o grados sexagesimales.

• Grados: Un grado (°) es la 1/360 parte de una circunferencia completa.

• Un radián (rad) es la unidad de medida de ángulos en el sistema internacional de unidades (SI). Un radián es el ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

• Un grado sexagesimal (°) se divide en 60 minutos (‘) y un minuto se divide en 60 segundos (»).

 

3.2 Razones trigonométricas:

Las razones trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo. Las razones trigonométricas más importantes son:

• Seno (sin): Seno = cateto opuesto / hipotenusa
• Coseno (cos): Coseno = cateto adyacente / hipotenusa
• Tangente (tan): Tangente = cateto opuesto / cateto adyacente

 

3.3 Razones trigonométricas de un ángulo:

Las razones trigonométricas de un ángulo se pueden calcular utilizando las definiciones de seno, coseno y tangente. También se pueden calcular utilizando las funciones trigonométricas de una calculadora.

 

3.4 Razones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º y 60º:

Las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º tienen valores especiales que se pueden memorizar:

Ángulo	Seno	Coseno	Tangente
30º	1/2	√3/2	1/√3
45º	√2/2	√2/2	1
60º	√3/2	1/2	√3

 

3.5 Relaciones trigonométricas fundamentales:

Las relaciones trigonométricas fundamentales son ecuaciones que relacionan las razones trigonométricas entre sí. Las relaciones trigonométricas fundamentales más importantes son:

• Identidad pitagórica: Sen^2(x) + Cos^2(x) = 1

• Identidad de la tangente: Tan(x) = Sin(x) / Cos(x)

 

3.6 Tipos de ángulos:

• Dos ángulos son complementarios si suman 90º.

• Dos ángulos son suplementarios si suman 180º.

• Las razones trigonométricas de dos ángulos que se diferencian en 180º son iguales.

• Los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen la misma razón trigonométrica.

• Las razones trigonométricas de ángulos negativos y mayores de 360º se pueden calcular utilizando las razones trigonométricas de los ángulos correspondientes entre 0º y 360º.

 

Las razones trigonométricas de otros ángulos se pueden calcular utilizando diferentes métodos, como las fórmulas de adición y sustracción de ángulos, las fórmulas de duplicación y las fórmulas de reducción.

 

Resolución de triángulos rectángulos: las razones trigonométricas se pueden utilizar para resolver triángulos rectángulos.

 

Recursos adicionales para ampliar la información de este módulo:

• Trigonometría: https://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADa

• Te recomendamos investigar sobre las razones trigonométricas y relaciones trigonométricas fundamentales

 

4. Funciones: Conceptos básicos y tipos

 

Recuerda: Función: Relación entre dos conjuntos / Ecuación: Igualdad entre dos expresiones.

 

4.1 Concepto de función:

Una función es una relación entre dos conjuntos, donde cada elemento del primer conjunto (llamado dominio) se asocia con un único elemento del segundo conjunto (llamado recorrido). En otras palabras, una función es una regla que asigna a cada elemento del dominio un único valor del recorrido.

 

Dominio y recorrido:

• Dominio: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente (x).
• Recorrido: El recorrido de una función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente (y).

 

Funciones elementales:

Las funciones elementales son funciones básicas que se utilizan con frecuencia en matemáticas. Algunos tipos de funciones elementales son:

• Funciones lineales: Son funciones de la forma f(x) = mx + b, donde m y b son constantes.
• Funciones cuadráticas: Son funciones de la forma f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes.
• Funciones raíz: Son funciones de la forma f(x) = √x, donde x ≥ 0.
• Funciones exponenciales: Son funciones de la forma f(x) = a^x, donde a es una constante positiva y a ≠ 1.
• Funciones logarítmicas: Son funciones de la forma f(x) = log(x), donde x > 0.

 

Las gráficas de las funciones elementales se pueden obtener utilizando diferentes métodos, como la tabulación de puntos, la pendiente y la intersección con el eje y.

• Funciones lineales: La gráfica de una función lineal es una línea recta.
• Funciones cuadráticas: La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
• Funciones raíz: La gráfica de una función raíz es una curva que se eleva hacia arriba desde el origen.
• Funciones exponenciales: La gráfica de una función exponencial es una curva que aumenta rápidamente hacia arriba.
• Funciones logarítmicas: La gráfica de una función logarítmica es una curva que aumenta lentamente hacia arriba.

 

Las funciones definidas a trozos son funciones que se definen por diferentes expresiones en diferentes intervalos del dominio.

 

Ejemplos:

• La función f(x) = |x| se define a trozos:
  • f(x) = x si x ≥ 0
  • f(x) = -x si x < 0
• La función g(x) = {x^2 si x ≤ 1; 2x – 1 si x > 1} se define a trozos:
  • g(x) = x^2 si x ≤ 1
  • g(x) = 2x – 1 si x > 1

 

Recursos adicionales:

• Funciones: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
• Dominio y recorrido: [se quitó una URL no válida]
• Funciones elementales: [se quitó una URL no válida]
• Gráficas de funciones: [se quitó una URL no válida]
• Funciones definidas a trozos: [se quitó una URL no válida]

 

Ejercicios:

1. Determina el dominio y el recorrido de la función f(x) = 2x + 3.
2. Representa la gráfica de la función g(x) = x^2 – 4x + 3.
3. Define una función a trozos que represente la siguiente situación:
   • Si la temperatura es menor a 10 grados, el precio de la calefacción es de 10 euros por hora.
   • Si la temperatura es igual o superior a 10 grados, el precio de la calefacción es de 5 euros por hora.

 

5. Geometría. Vectores

Un vector es una magnitud física que se caracteriza por tener módulo, dirección y sentido. Se representa gráficamente como una flecha.

 

5.1 Operaciones con vectores:

• Suma: Se suman las componentes de cada vector por separado.
• Resta: Se restan las componentes de cada vector por separado.
• Multiplicación por un escalar: Se multiplica cada componente del vector por el escalar.
• Producto escalar: Es el producto de la magnitud de dos vectores por el coseno del ángulo entre ellos.
• Producto vectorial: Es un vector perpendicular a los dos vectores originales.

 

5.2 Combinación lineal:

Una combinación lineal de vectores es una expresión de la forma:

v = c1v1 + c2v2 + … + cnvn

donde v1, v2, …, vn son vectores y c1, c2, …, cn son escalares.

 

5.3 Vectores linealmente dependientes e independientes:

• Vectores linealmente dependientes: Son aquellos que se pueden expresar como una combinación lineal de otros vectores.
• Vectores linealmente independientes: Son aquellos que no se pueden expresar como una combinación lineal de otros vectores.

 

5.4 Base:

Un conjunto de vectores linealmente independientes que pueden generar cualquier vector en un espacio vectorial se llama base.

 

5.5 Sistemas de referencia:

Un sistema de referencia es un conjunto de vectores que se utiliza para definir la posición de un punto en el espacio.

 

Aplicaciones: los vectores se utilizan en diversas áreas como:

• Física: para representar fuerzas, velocidades, aceleraciones, etc.
• Ingeniería: para realizar cálculos en mecánica, electromagnetismo, etc.
• Informática: para modelar gráficos 3D, animaciones, etc.

 

El producto escalar de dos vectores es una medida de la proyección de un vector sobre otro. Se calcula como:

v · w = ||v|| ||w|| cosθ

donde v y w son los vectores, ||v|| y ||w|| son sus magnitudes y θ es el ángulo entre ellos.

 

Recursos adicionales:

• Vectores: [se quitó una URL no válida])
• Operaciones con vectores: [se quitó una URL no válida]
• Combinación lineal: [se quitó una URL no válida]
• Vectores linealmente dependientes e independientes: [se quitó una URL no válida]
• Base: [se quitó una URL no válida]
• Sistemas de referencia: [se quitó una URL no válida]
• Aplicaciones de los vectores: [se quitó una URL no válida]
• Producto escalar: [se quitó una URL no válida]

 

Ejemplos:

• La suma de dos vectores se puede calcular utilizando la regla del paralelogramo.
• El producto escalar de dos vectores se puede utilizar para calcular el trabajo realizado por una fuerza.
• Los vectores se pueden utilizar para modelar la trayectoria de un proyectil.

 

Los vectores son una herramienta matemática importante que se utiliza en diversas áreas. Es fundamental comprender sus propiedades y operaciones para poder utilizarlos de forma efectiva.

 

6. Geometría del espacio

 

6.1 Estudio de la Recta: Formas y Propiedades

La recta es uno de los objetos geométricos más básicos y fundamentales. Se caracteriza por ser una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones.

En este artículo, exploraremos las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, así como sus propiedades y aplicaciones.

 

6.2 Formas de la ecuación de la recta:

Ecuación vectorial:

Esta forma expresa la posición de cualquier punto sobre la recta como una combinación lineal de dos vectores:

P = D + t*V

Donde:

• • P: Vector que representa un punto sobre la recta.
  • D: Vector que representa un punto conocido sobre la recta (director).
  • t: Parámetro escalar que determina la posición de P sobre la recta.
  • V: Vector director de la recta.

 

6.3 Las ecuaciones paramétricas

Expresan las coordenadas de un punto sobre la recta en función de un parámetro:

x = x₀ + at y = y₀ + bt

Donde:

• • (x₀, y₀): Coordenadas del punto director.
  • a, b: Componentes del vector director.
  • t: Parámetro escalar.

 

6.4 Ecuación continua:

Expresa la relación entre las coordenadas de cualquier punto sobre la recta:

y = mx + b

Donde:

• • m: Pendiente de la recta.
  • b: Intercepto en el eje Y.

 

6.5 Ecuación punto-pendiente:

Esta ecuación es una forma particular de la ecuación continua que se utiliza cuando se conoce un punto sobre la recta y su pendiente:

y – y₁ = m(x – x₁)

Donde:

• • (x₁, y₁): Coordenadas del punto conocido.
  • m: Pendiente de la recta.

 

6.6 Ecuación general:

Esta ecuación es una forma general de la ecuación de la recta que se puede obtener a partir de la ecuación continua:

Ax + By + C = 0

Donde:

• • A, B, C: Coeficientes de la ecuación.
• Ecuación de la recta en forma explícita:

Esta ecuación expresa la coordenada y en función de la coordenada x:

y = f(x)

Donde:

• • f(x): Función que define la pendiente de la recta en cada punto.
• Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Esta ecuación se puede obtener utilizando la fórmula del determinante:

y – y₁ = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)(x – x₁) + y₁

Donde:

• • (x₁, y₁), (x₂, y₂): Coordenadas de los dos puntos.

 

6.7 Propiedades de la recta:

• Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
• Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son negativas recíprocas.
• La distancia de un punto a una recta se calcula utilizando la fórmula de la distancia entre un punto y una línea.
• La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
• Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas son las rectas que dividen cada ángulo en dos ángulos iguales.

 

Las rectas se utilizan en una amplia variedad de aplicaciones, como:

• Geometría: para calcular distancias, ángulos, áreas y volúmenes.
• Física: para modelar el movimiento de objetos.
• Ingeniería: para diseñar estructuras y máquinas.
• Economía: para modelar relaciones entre variables.

 

Las rectas son un objeto geométrico fundamental con una amplia variedad de aplicaciones. La comprensión de las diferentes formas de expresar la ecuación de una recta, así como sus propiedades, es esencial para resolver problemas en geometría, física, ingeniería y otras áreas. 

 

Si deseas seguir profundizando te recomendamos: El estudio de las Funciones Cónicas

 

7. Introducción a los números complejos

Los números complejos son una ampliación del conjunto de los números reales que incluye a los números imaginarios. Un número complejo se puede expresar como la suma de un número real y un número imaginario multiplicado por la unidad imaginaria i, donde i^2 = -1.

 

La unidad imaginaria i es un número que no tiene una representación real en la recta numérica. Se define como i = √(-1).

 

Las potencias de la unidad imaginaria siguen un patrón:

i^1 = i
i^2 = -1
i^3 = -i
i^4 = 1
i^(n+4) = i^n

 

Un número complejo se puede expresar en forma binómica como:

z = a + bi

donde a es la parte real, b es la parte imaginaria e i es la unidad imaginaria.

 

Los números complejos se pueden representar gráficamente en un plano complejo, donde el eje horizontal representa la parte real y el eje vertical representa la parte imaginaria.

 

Las operaciones básicas con números complejos en forma binómica se realizan por separado con las partes reales y las partes imaginarias:

Suma y diferencia:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Producto:

(a + bi) * (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

Cociente:

(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc – ad) / (c^2 + d^2)]i

 

Un número complejo también se puede expresar en forma polar como:

z = r(cosθ + i sinθ)

donde r es el módulo, θ es el argumento y i es la unidad imaginaria.

 

El módulo de un número complejo z = a + bi es:

|z| = √(a^2 + b^2)

 

El argumento de un número complejo z = a + bi es:

θ = arctan(b/a)

 

Para expresar un número complejo en forma polar se necesita calcular el módulo y el argumento:

z = |z|(cosθ + i sinθ)

 

Las operaciones con números complejos en forma polar se realizan utilizando las propiedades de las funciones trigonométricas:

Producto:

z1 * z2 = |z1| |z2| (cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2))

Producto por un número complejo:

z * k = |z| |k| (cos(θ + θk) + i sin(θ + θk))

Cociente:

z1 / z2 = |z1| / |z2| (cos(θ1 – θ2) + i sin(θ1 – θ2))

Potencia:

z^n = |z|^n (cos(nθ) + i sin(nθ))

Raíz n-ésima:

√n z = |z|^(1/n) (cos(θ/n) + i sin(θ/n))

 

Las coordenadas cartesianas y polares son dos sistemas de coordenadas para ubicar puntos en el plano.

 

Para convertir de coordenadas polares a cartesianas se utilizan las siguientes formulas:

x = r cosθ y = r sinθ

 

Para convertir de coordenadas cartesianas a polares se utilizan las siguientes formulas:

r = √(x^2 + y^2) θ = arctan(y/x)

 

8. Estudio de las Sucesiones y Progresiones: Un viaje al infinito

Las sucesiones y progresiones son dos conceptos fundamentales en el análisis matemático. Las sucesiones son conjuntos ordenados de números reales, mientras que las progresiones son sucesiones especiales en las que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante.

 

El término general de una sucesión es una expresión que permite calcular cualquier término de la sucesión a partir de su posición.

 

Idea intuitiva del límite de una sucesión:

El límite de una sucesión es el valor al que se aproxima la sucesión a medida que avanza hacia el infinito.

 

Límite finito de una sucesión:

Se dice que una sucesión tiene un límite finito si se aproxima a un valor real finito a medida que avanza hacia el infinito.

 

Límite infinito de una sucesión:

Se dice que una sucesión tiene un límite infinito si se aproxima a un valor infinito positivo o negativo a medida que avanza hacia el infinito.

 

Los límites tienen algunas propiedades importantes, como la linealidad, la monotonía y la comparabilidad.

 

Cálculo de operaciones con límites:

Es posible realizar operaciones con límites, como suma, resta, multiplicación y división, siempre que las sucesiones involucradas tengan límites finitos.

 

Tipos de indeterminaciones:

En algunos casos, al calcular el límite de una función compuesta por dos funciones, podemos obtener una indeterminación. Las indeterminaciones más comunes son:

• Infinito partido infinito: Se presenta cuando el límite del numerador y del denominador es infinito.

• Infinito menos infinito: Se presenta cuando el límite del numerador y del denominador es infinito, pero con signos contrarios.

• Cero por infinito: Se presenta cuando el límite del numerador es cero y el límite del denominador es infinito.

• Cero partido cero: Se presenta cuando el límite del numerador y del denominador es cero.

• Uno elevado a infinito: Se presenta cuando el límite del exponente es infinito.

 

Técnicas para resolver indeterminaciones:

Existen diferentes técnicas para resolver las indeterminaciones, como la racionalización, la factorización, el cambio de variable y el uso de l’Hôpital.

 

Conclusión:

Las sucesiones y progresiones son herramientas fundamentales para el estudio del análisis matemático. El estudio de los límites de las sucesiones y las técnicas para resolver indeterminaciones son esenciales para comprender el comportamiento de las funciones a medida que se aproximan al infinito.

 

Recursos adicionales: matemáticas de 1º de bachillerato

• Matemáticas 1º Bachillerato. Ministerio de Educación y Formación Profesional.

• Apuntes y Ejercicios de Matemáticas para 1º Bachillerato.

• Busca tutoriales en Youtube sobre Inecuaciones e Inecuaciones equivalentes

 

Nota: Este temario es una guía general y puede variar según la comunidad autónoma o el centro educativo. Se recomienda consultar el temario específico de tu centro de estudios.

 

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